0   引言

非線性摩擦是影響工業機器人低速運動性能的主要因素之一，機器人關節摩擦力會使機器人產生跟蹤誤差，帶來極限環振蕩、滯滑運動等問題[1]。為此，對機械臂的非線性摩擦建模與補償研究成為工業機器人控制領域的研究熱點[2-6]。為了解決關節摩擦力的問題，通過實驗總結出了各種摩擦力模型。建立機器人關節摩擦模型是實現摩擦力實時補償的核心步驟。摩擦的時變、強非線性等性質，使得精確建立摩擦力的模型幾乎無法實現。工程中使用的靜態摩擦模型和動態摩擦模型[7]也僅僅是摩擦力模型的一種近似模型。借助這種近似的摩擦力模型，只能在一定程度上消弱摩擦力的影響。在靜態摩擦模型中，應用最廣泛的是圖1 中的Stribeck 指數模型[8]，該模型對真實摩擦力的擬合精度達80%。本文研究了在極低速度下如何實現穩定控制的問題，通過摩擦建模，引入了考慮瞬態摩擦的狀態摩擦模型，通過基于狀態變量摩擦模型的動力學方程，完成了基于狀態摩擦模型的動力學方程的穩定性分析。

圖1 Stribeck模型

1   摩擦力模型

剛體材料之間通過潤滑劑潤滑時的特征摩擦- 速度曲線就是圖1 中所示Stribeck 曲線。通常由靜摩擦fs 、庫倫摩擦fc 和黏性摩擦構成。在相對運動的方向沒有逆轉的條件下，接觸面穩定滑動的摩擦力是速度的連續函數。這條曲線的斜率取決于材料的成分和它們之間的潤滑狀況。對于圓圈標記出的低速范圍，曲線存在一個陡峭的負斜率段，這一段正是本文將要討論的低速區摩擦- 速度曲線。

通常用于模型補償的摩擦- 速度曲線，包括Stribeck曲線，代表穩定滑動的摩擦。摩擦力模型只依賴于當前的速度值。然而，摩擦實驗[9]表明，摩擦也取決于過去的運動歷史。

Sampson[10] 等人最早注意到摩擦力的這種現象。考慮過去的運動歷史，摩擦力模型f(t) 的函數關系可以表示為：

其中， V 為接觸面相對滑動速度， σ n 為法向壓應力。也就是說摩擦力不僅僅和當前時刻的速度V t ( ) 和法向壓應力σ n(t)有關，還和過去時刻的速度V (τ )和法向壓應力σ τ n( )有關。

本文考慮的狀態變量摩擦模型具有以下3 個特征（假設正應力恒定）：

●   依賴于速度的摩擦力穩定狀態；

●   依賴于速度的摩擦力瞬時狀態；

●   特征滑移距離。

依賴于速度的摩擦力穩定狀態就是摩擦力- 速度曲線。依賴于速度的摩擦力瞬時狀態就是速度的瞬時變化導致摩擦力在同一方向上的瞬時變化。第3 個性質表示的是當速度突然變化時，摩擦力指數衰減到穩態的摩擦力- 速度曲線需要滑動的距離。對于法向應力為常數的情況，狀態變量摩擦模型具有下面的摩擦力模型：

等式中θi表示狀態變量，這種形式表明，速度的突然變化不會引起狀態的突然變化，但會影響它的時間導數。穩定狀態的摩擦力- 速度曲線可以通過設置gi為零，而后將狀態變量θi替換到函數f 中得到一個非常簡單的包含單個狀態變量的摩擦模型：

L特征滑移距離( f0 ,V0) 對應于穩態摩擦- 速度曲線上任何合適的初始點。在這種情況下，穩態摩擦- 速度曲線為：

穩態摩擦- 速度曲線中常用速度指數項表示從靜摩擦到動摩擦的過渡。一種包括庫侖摩擦和黏性摩擦的模型為：

其中c0,c1,c2,c4>0。狀態變量摩擦模型是專門為模擬摩擦的低速效應而設計的，而穩態摩擦模型是用來制定適應整個運行速度范圍的模型。

2   考慮摩擦的動力學模型

圖2 關節模型

圖2 給出了一個具有代表性的機器人關節的動力學模型， xm 和xl 分別代表電機和關節的位置， kp 代表關節剛度或是控制增益，kv 代表附加阻尼，m是連桿質量，f 則代表關節摩擦模型。位置控制的動力學方程：

不考慮擾動d(t)的情況下，由于關節摩擦f的原因，機器人在穩定運行狀態下會產生恒定的偏置在考慮擾動d(t)的情況下，連桿的速度存在微小的偏置最終的擾動動力學方程為：

3   穩定性分析

假設法相正應力恒定，考慮依賴于當前速度和滑動歷史的摩擦定律：

假設摩擦力f t ( ) 可以被分離為1 個瞬態分量和1 個穩態分量。后者趨向于在特定速度下滑移足夠距離時的穩態值。在本文討論的低速區，穩態摩擦- 速度曲線的斜率是負值，也即

依據Rice and Ruina[11]，用脈沖響應表示f(t) 在平衡點附近的線性化行為，摩擦力模型可以表示為：

認識到速度的直接影響是一個脈沖函數，可以把它從卷積積分中提取出來，

結合這個方程，摩擦力關于速度的瞬態變化率為：

摩擦力關于速度的穩態變化率為：

實驗表明[11]，摩擦與速度的瞬態關系為正，也即fv > 0 。對于負斜率的穩態摩擦曲線，

為保證摩擦力是單調遞減的，g(t) 需要滿足條件：

將式（13）代入式（9），得到關節的動力學方程為：

做拉普拉斯變換，得到：

3.1 考慮當前速度摩擦力模型的穩定性分析

考慮簡單情況的摩擦律f=f(V(t))，即不考慮過去的運動對摩擦模型的影響，也即：

穩定性是由X (s)的極點位置決定的，在這種簡單的情況下考慮下面等式的取值：

由于m > 0，如果就會發生不穩定性。如果摩擦系數fv 在V0 處斜率為負，需要附加阻尼kv 實現穩定， 可以選擇的最小值， 對于0 0 。

例如，考慮下面的摩擦力形式：

在這種情況下：

如果fv < 0 ，則需要一個正的kv 來穩定系統。令可得為了滿足漸進穩定的條件，附加阻尼系數需要滿足，其中：

3.2 狀態變量摩擦力模型的穩定性分析

分析使式（19）穩定需要的控制增益。考慮下面等式的根：

下面考慮kp 的所有可能取值：

①當kp →∞。由于G(∞) = 0，解的實部為：

由于fv 和kv都是正的，故而Re(s) < 0恒成立。因此，kp → ∞ 條件下，等式（25）始終能夠保持穩定；

②當kp = 0，考慮方程 。考慮到式（27），此方程對于小的s 是負的，對于大的s 是正的，故此時系統無法保持穩定。

③考慮上述內容，當kp 從零到無窮，存在一個根或1 對根穿過虛軸。將s = 0 和s = ∞ 代入等式（25），因為m 、fv 、kv 和kp 都是正的，可知方程無解。因此解如果存在，其只能是一對虛根±iω ，且和kp 的臨界值kcr 有關：

將上述方程分解為實部和虛部，得到ω 和kcr 的方程：

使用我們的假設g(t)≥0，并得到

我們發現式（30）只有在滿足下面條件的時候才有解：

穩定性結果總結如下：

對于考慮摩擦律f = f [V (t)]的動力學模型，漸近穩定的條件為：

對于考慮摩擦律 f = f [V (τ )]， 0 <τ < t 的動力學模型，漸近穩定的條件為：

這樣可以依據式（32），根據僅考慮當前速度的摩擦力模型，選擇合適附加阻尼kv 來保證動力學系統的穩定性。可以依據式（33），根據同時考慮過去運動狀態和當前速度的狀態變量摩擦模型，選擇合適的k k v p 、來保證系統的穩定性，而k k v p 、就是系統的控制參數。

4   結束語

實現穩定的低速度運動能力對機器人和任何涉及精細定位或力控制任務的機器來說都非常重要。然而，在實際應用中，高度非線性的摩擦力會產生一個最小的穩定速度，低于此速度就會發生粘滑，嚴重限制機器人位置和力控制的精度。此外，滯滑摩擦力引起極限環是機械振動的一個主要誘因。

本文研究了用狀態變量摩擦模型表示低速運動中的瞬態摩擦，并提出了基于狀態變量摩擦模型的動力學方程的穩定性證明，依據穩定證明給出了控制參數設置的合理指導。

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